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高中物理丨天體運動知識點詳解


2022年3月26日 - 宇宙小編  
 

開普勒的行星運動三定律

開普勒第一定律

開普勒第一定律即為橢圓軌道定律,其內容為:所有的行星圍繞太陽運動的軌道是橢圓,太陽處在所有橢圓的一個焦點上,如圖。此定律說明不同行星的橢圓軌道是不同的。

開普勒第二定律

開普勒第二定律又叫面積定律,其內容為:連接太陽和行星的連線(矢徑)在相等的時間內掃過相等的面積,如圖。

此定律說明行星離太陽越近,其運行速率越大。

開普勒第三定律

開普勒第三定律即為周期定律,其內容為:行星軌道半長軸的三次方與公轉周期的二次方的比值是一個常數。即

,其中r代表橢圓軌道的半長軸,T代表行星運動的公轉周期,k是一個與行星無關的常量。

的認識:在圖中,半長軸是AB間距的一半,不要認為a等於太陽到A點的距離;T是公轉周期,不要誤認為是自轉周期,如地球的公轉周期是一年,不是一天。

說明

(1)在以後的計算問題中,我們都把行星的軌道近似為圓,把衛星的運行軌道也近似為圓,這樣就使問題變得簡單,計算結果與實際情況也相差不大。

(2)在上述情況下,

的表達式中,a就是圓的半徑R,利用

的結論解決某些問題很方便。

注意

①比例系數k是一個與行星無關的常量,但不是恒量,在不同的星系中,k值不相同。

②在太陽系中,不同行星的半長軸都不相同,故其公轉周期也不相等。

③衛星繞地球轉動、地球繞太陽轉動遵循相同的運動規律。

易錯點

在認識行星做橢圓運動時的向心力大小及速度大小時易錯,行星的運動符合能量守恒定律,它們離太陽近時半徑小,速度大,向心力也大;離太陽遠時半徑大,速度小,向心力也小,另一個易錯點是找橢圓的半長軸時易錯,許多同學在初學時,往往將2倍的半長軸代入題中進行運算。

忽略點

本節中的行星運動的軌道為橢圓,是曲線運動,行星在軌道上任一點的速度方向沿該點的切線方向,速度方向易忽略,如:有部分同學認為行星的速度方向垂直於行星與太陽的連線,這種認識是錯誤的,是將行星的運動視為圓周運動,而實質上其軌道為橢圓。

卡文迪許扭稱實驗

卡文迪許設計了扭稱實驗來測量萬有引力常量,下圖是扭稱實驗的原理圖。

彈性扭絲懸掛於A,扭絲從平衡位置起被扭轉的角度θ正比於扭絲下端受到的扭轉力矩M力矩。扭絲下端固定於一根長度為2l的橫杆的中點,橫杆兩端各固定一個質量為m的小鉛球。另有一個支架可繞B處的軸承轉動,支架橫杆的長度亦為2l,橫杆的兩端各懸掛一個質量為M的大鉛球。大鉛球和小鉛球的球心在同一個水平面裏,扭絲下端連接小球的橫杆和大球支架橫杆可以繞共同的豎直軸AB轉動。

實驗時轉動大球支架橫杆,使大球和小球的球心相距為r,設此時大球和小球間的相互吸引力為F,扭絲下端受到的扭轉力矩為M力矩=2Fl(真實實驗中,由於力

和連接小球的橫杆不完全垂直,要做精細修訂),根據萬有引力定律

,所以

設扭絲從平衡位置起被扭轉的角度

與扭絲下端受到的扭轉力矩

矩的關系為M力矩=kθ,因此

在已知m,M,l,k的情況下,測量r和θ即可以求出

萬有引力的應用

解題思路

(1)萬有引力與向心力的聯系

萬有引力提供天體做勻速圓周運動的向心力,

是本章解題的主線索。

(2)萬有引力與重力的聯系

物體所受的重力近似等於它受到的萬有引力,即

,g為對應軌道處的重力加速度,這是本章解題的副線索。

重力與向心力的聯系

,g為對應軌道處的重力加速度,適用於已知g的特殊情況。

天體質量的估算

模型一:環繞型

談一談:對於有衛星的天體,可認為衛星繞中心天體做勻速圓周運動,中心天體對衛星的萬有引力提供衛星做勻速圓周運動的向心力,利用引力常量G和環形衛星的v、ω、T、r中任意兩個量進行估算(只能估計中心天體的質量,不能估算環繞衛星的質量)。

①已知r和T:

②已知r和v:

③已知T和v:

模型二:表面型

談一談:對於沒有衛星的天體(或有衛星,但不知道衛星運行的相關物理量),可忽略天體自轉的影響,根據萬有引力等於重力進行粗略估算。

變形:如果物體不在天體表面,但知道物體所在處的g,也可以利用上面的方法求出天體的質量。

處理:不考慮天體自轉的影響,天體附近物體的重力等於物體受的萬有引力,即:

天體密度的計算

求星球表面的重力加速度

在忽略星球自轉的情況下,物體在星球表面的重力大小等於物體與星球間的萬有引力大小,即:

人造衛星的運行速度

設地球質量為M,衛星質量為m,軌道半徑為r,由於萬有引力提供向心力,則

可見:高軌道上運行的衛星,線速度小。

角速度和周期與軌道半徑的關系呢?

可見:高軌道上運行的衛星,角速度小,周期長。

宇宙速度

第一宇宙速度

分析:在地面附近繞地球運行,軌道半徑即為地球半徑。由萬有引力提供向心力:

結論

如果發射速度小於7.9km/s,炮彈將落到地面,而不能成為一顆衛星;

發射速度等於7.9km/s,它將在地面附近作勻速圓周運動;

要發射一顆半徑大於地球半徑的人造衛星,發射速度必須大於7.9km/s。可見,向高軌道發射衛星比向低軌道發射衛星要困難。

意義:第一宇宙速度是人造衛星在地面附近環繞地球作勻速圓周運動所必須具有的速度,所以也稱為環繞速度。

第二宇宙速度

大小V2=11.2 km/s

意義:使衛星掙脫地球的束縛,成為繞太陽運行的人造行星的最小發射速度,也稱為脫離速度。

注意:發射速度大於7.9km/s,而小於11.2km/s,衛星繞地球運動的軌跡為橢圓;

等於或大於11.2km/s時,衛星就會脫離地球的引力,不再繞地球運行。

第三宇宙速度

大小:V3=16.7km/s

意義:使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度,也稱為逃逸速度。

注意:發射速度大於11.2km/s,而小於16.7km/s,衛星繞太陽作橢圓運動,成為一顆人造行星。

如果發射速度大於等於16.7km/s,衛星將掙脫太陽引力的束縛,飛到太陽系以外的空間。

人造衛星的發射速度與運行速度

發射速度

發射速度是指衛星在地面附近離開發射裝置的初速度,一旦發射後再無能量補充,要發射一顆人造地球衛星,發射速度不能小於第一宇宙速度。

運行速度

運行速度指衛星在進入運行軌道後繞地球做圓周運動的線速度。當衛星“貼著”地面飛行時,運行速度等於第一宇宙速度,當衛星的軌道半徑大於地球半徑時,運行速度小於第一宇宙速度。

同步衛星

所謂同步衛星,是相對於地面靜止的,和地球具有相同周期的衛星,T=24h,同步衛星必須位於赤道上方距地面高h處,並且h是一定的。同步衛星也叫通訊衛星。

(T為地球自轉周期,M、R分別為地球的質量,半徑)。

代入數值得h=3.6*107m

總結

地球的衛星(太陽系的行星)的軌道半徑與線速度、角速度、周期、加速度的關系

基本思路

地球對衛星的萬有引力提供向心力

線速度:

軌道半徑越大,線速度(運行速度)越小

注意:發射衛星的時候,發射到軌道半徑越大的地方,需要的發射速度越大。

軌道半徑越大,角速度、加速度越小,周期越大。

注意:地球衛星的線速度、角速度、周期、加速度與衛星的質量無關。

太空的超重與失重

發射階段

發射階段處於向上加速的過程,處於超重狀態。

返回過程

返回過程在地面附近處於向下減速的過程,處於超重狀態。

在運行軌道上繞地球做勻速圓周運動的過程

地球對物體(宇航員)的引力(重力)提供了圓周運動的向心力,處於完全失重的狀態。一切與重力有關的現象會消失,與利用重力有關的儀器不能使用。

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