看數學家們是如何用數學的方法，去探索世界的

然好15:33

01

牛津大學數學教授、英國皇家學會大學研究員馬庫斯·杜·桑托伊是現代著名的數學家，以著《素數的音樂》而聞名。桑托伊的學術研究主要涉及群論與數論，同時也十分熱衷於普及數學知識，曾與英國BBC廣播公司保持長期合作，將複雜的數學用通俗易懂的語言傳授給大眾；他的演講不但生動有趣，還常常讓人意想不到地發現一些利用數學預見未來的方法因而深受大眾喜愛。

有一次，有人對“數學家是幹什麼的”等問題感到疑惑，於是向桑托伊請教。桑托伊回答說：“我的工作就是證明新的定理，發現數學領域中新的定理，創建新的對稱論，以及尋找不同數學領域之間的新聯系。”很顯然，桑托伊是以自己作為數學家的身份和以他自己的特長作出了回答。

如果我們將桑托伊上述這番話稍作疏理，不難得出幾個關鍵詞：證明、發現、創建、尋找（新的聯系）。

緊接著，桑托伊談到了一些具體的方法問題。他補充著說道：“在我看來，解決這些問題的唯一方法是對我在做數學研究時我所想的東西進行分析。所以，我從我的工作經歷中選取一個片段來分析，這有助於我探索其中的一些問題。”

按照桑托伊的觀點，做數學研究要有一個研究對象，但不一定是實物，可以是個想象中的對象；也不一定是全體，可以選取其中一個部分來加以研究。當發現到一些從前未發現的算術、幾何、世界之間的聯系時，就要設法找出其中的一些規律，而後想辦法去證明它，以證實它們之間是否真實存在著某種相互的關系，如果能夠得到證明，就可以舉一反三，反複進行演化，就可以嘗試創建新的理論了。

而做數學研究的好處是可以不必做實驗，所以可以是純腦力的行為，也可以是一個人的行為，事實上歷史上有許多重大數學成果都是通過猜測或猜想而後證明得到的，往往是因為能“想到”，而後才能“得到”。

也許桑托伊的上述這番言論能帶給了我們一些啟迪，我們可以將桑托伊言論中提及的幾個關鍵詞按順序重新排列成：尋找（算術、幾何、世界之間的聯系）——發現（其中的一些規律）——證明（是否正確）——創建（新理論）。這樣的方法就似乎有著清晰的脈絡，或可指導我們去探索未知的新世界。

02

著名數學家G·H·哈代曾寫一本名為《一個數學家的辯白》的書，他在書中是這樣描述數學家的：“數學家和畫家或詩人一樣，都是模式的創造者數學家的模式，就像畫家或詩人的模式一樣，必須是美的，必須以和諧的方式構建而成，且美的模式需要經過檢驗，醜陋的將不會持久。”

明顯地，哈代是將數學家與畫家或詩人進行比較，並且認為他們是一樣的（人），因為三者都需要有豐富的想象力才能有好的作品，且作品必須是美的。就像畢達哥拉斯定理一樣，就像達·芬奇的《蒙娜麗莎》一樣，就像貝多芬《第九交響曲》一樣，它們不但很美，而且經過了世人的檢驗，所以持久。

如果我們從數學領域裏歷來發現的諸多定理來看，足以說明自然界裏的確是存在著許多規律的，不管人們是否發現，它們一直都那裏。

哈代還在一次以數學的創造力為題的演講中有過這樣一番思想表達，他說：“我相信，數學實在在我們之外，我們的功用是發現或觀察它們。我們證明的定理和那些誇大其詞地當作創造所描述出來的東西，不過是我們對觀察的記錄而已。”

也就是說，諸多自然規律不是我們創造了它們，它們本來存在，但可能在我們的認識之外，並且還有很多自然規律等待著我們去發現，我們要做的就是去觀察它們、發現它們，然後將觀察到的、發現到的規律記錄下來，而後歸納總結構成新的數學理論。所謂的“新”，新就新在前人未曾發現。當一些東西不能依靠觀察去“發現”時，就要靠我們的想象，而這種現象在數學史上比比皆是，例如微積分裏的“無窮”就是一個想象出來的概念。

所以數學家必做要有超強的想象力，僅僅是靠觀察是不夠的。例如牛頓因為偶然看到一只蘋果從蘋果樹上掉下來就發現了萬有引力定律，為什麼那麼多的人都看見過蘋果的掉落都沒有發現呢？說明光靠觀察是不夠的，而牛頓擁有豐富的想象力，並得出了其中的規律性總結，所以發現了萬有引力定律。

03

綜觀整個數學發展史，自畢達哥拉斯證明畢達哥拉斯定理，並首開數形結合之先河以來，數學就一直以研究數與形為主要特征，揭示數與形之間的聯系就常常成為數學研究的主要內容。

在畢達哥拉斯定理裏，它告訴我們直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。歐幾裏得的《幾何原本》還告訴我們，畢達哥拉斯定理允許用任何相似的圖形作替代。所以畢達哥拉斯定理最重要的是，它揭示了數與直角三角形的三個邊之間以及圖形之間建立的聯系。

在愛因斯坦的相對論裏，認為世界上的一切都不是絕對的、永恒的、不可改變的，就連時空也是彎曲的。而黎曼則認為，不管時空如何彎曲，但是每一個點都是“局部平坦”的，因而可以度量，以此建立數與形之間的聯系。

桑托伊的觀點也有相似之處，同樣認為數學研究可以局部而不一定是整體，當有所發現時再論述整體的性質。所以數學家們用的方法往往是相似或相通的，這很值得我們參考。

但有時有些發現未必可靠，所以還必須有一個證明的過程，就像費馬大定理的證明過程一樣，歷經358年後才由懷爾斯證明了費馬這個驚人的猜想。所以證明是數學必不可少的環節，也是體現數學價值之所在，是以證明檢驗“發現”與結果的正確性。

所以，如何利用數學探索未知的新世界？首先要能想到，而後尋找或發現其中的一些規律，而後證明是否正確，而後創建新的數學架構或理論，這大概是眾多科學家們用以探索未知新世界常用的方法或手段。

總之，數學家們是一群與眾不同的人，他們擁有過人的想象能力與思考能力，筆者有時讀他們的書，或寫些與他們有關的文章，也會時常驚歎於他們驚人的創造力，自己也不知不覺地沉浸於其中，並願意以此為樂。

作者：然好

END